Esercizio 4 – Intersezioni con gli assi

19 Settembre 2019 gpalmieri Intersezioni con gli assi

Trova le intersezioni con gli assi di una funzione razionale fratta:

$f(x)=\frac{x^2-4x+3}{x^2-4}$

Per risolvere il problema delle intersezioni con gli assi coordinati dobbiamo svolgere due sistemi:

Asse x

$\begin{cases}y=0\\y=\frac{x^2-4x+3}{x^2-4}\end{cases}$

$\begin{cases}y=0\\\frac{x^2-4x+3}{x^2-4}=0\end{cases}$

Dobbiamo quindi risolvere la seguente equazione fratta:

$\frac{x^2-4x+3}{x^2-4}=0$

I valori che annulano questa frazioni sono quelli che annullano il numeratore posto il fatto che il denominatore invece non può mai essere nullo. Poniamo quindi come condizioni di esistenza:

$x^2-4\neq0$ pertanto $x\neq\pm2$

Da notare che questo studio si affronta quando si calcola il dominio della funzione in quanto dobbiamo porre il denominatore diverso da zero.

Per trovare gli zeri della frazione risolviamo

$x^2-4x+3\neq0$

$\Delta = (-4)^2 - 4 (1)(3) =16-12=4$

$x_{1,2} = \frac{4\pm\sqrt{4}}{2} = \frac{4\pm2}{2}$

$x_{1} = \frac{4-2}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$x_{2} = \frac{4+2}{2} = \frac{6}{2} = 3$

Possiamo concludere che il sistema ha due coppie di soluzioni e quindi sono presenti due punti di intersezione con l’asse x:

$\begin{cases}y=0\\x=1\end{cases}$

$\begin{cases}y=0\\x=3\end{cases}$

Asse y

$\begin{cases}x=0\\y=\frac{x^2-4x+3}{x^2-4}\end{cases}$

$\begin{cases}x=0\\y=\frac{(0)^2-4(0)+3}{(0)^2-4}\end{cases}$

$\begin{cases}x=0\\y=-\frac{3}{4}\end{cases}$

Il grafico mostra che quanto abbiamo studiato è corretto in quanto sono presenti due punti di intersezione con l’asse x e un punto di intersezione con l’asse y.

L	M	M	G	V	S	D
						1
2	3	4	5	6	7	8
9	10	11	12	13	14	15
16	17	18	19	20	21	22
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Esercizio 4 – Intersezioni con gli assi

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