Serie Numeriche

Criterio di Cauchy
Condizione necessaria e sufficiente affinché \sum_{n=0}^{+\infty} a_n sia convergente é che \forall \epsilon >0\qquad \exists \nu>0 tale che
|\sum_{k=n+1}^{+\infty} a_k|=|a_{n+1}+\_{n+2}+\dots+a_{n+p}|<\epsilon per ogni n>\nu e per ogni p\in \mathbb{N}.

Possiamo iniziare ora ad enunciare i criteri per la convergenza di una serie a termini non negativi.

Primo criterio del Confronto (o di Gauss)

Siano \sum_{n=0}^{+\infty}a_n e \sum_{n=0}^{+\infty}b_n due serie a termini non negativi, e sia 0\leq a_n\leq b_n, allora:

  • se \sum_{n=0}^{+\infty}b_n converge, allora \sum_{n=0}^{+\infty}a_n converge,
  • se \sum_{n=0}^{+\infty}a_n diverge, allora \sum_{n=0}^{+\infty}b_n diverge.

Definizione

Due serie \sum_{n=0}^{+\infty}a_n e \sum_{n=0}^{+\infty}b_n si dicono asintoticamente equivalenti se
\lim_{n\to +\infty} \frac{a_n}{b_n}=1
e si scrive a_n\sim b_n per n\to +\infty.

Secondo criterio del Confronto (Versione Asintotica)
Siano \sum_{n=0}^{+\infty}a_n e \sum_{n=0}^{+\infty}b_n due serie a termini non negativi. Sia a_n\geq 0 e b_n>0, tali che esista il limite

\lim_{n\to +\infty} \frac{b_n}{a_n}=l \quad \in\mathbb{R}, allora

  • se \sum_{n=0}^{+\infty}b_n converge, allora \sum_{n=0}^{+\infty}a_n converge,
  • se \sum_{n=0}^{+\infty}a_n diverge, allora \sum_{n=0}^{+\infty}b_n diverge.

Se inoltre l\neq 0 possiamo ricondurre il limite sempre al volore 1 con semplici tecniche algebriche, quindi abbiamo che a_n\sim b_n per n\to +\infty. In questo caso le due serie hanno lo stesso carattere..

 

Criterio della radice
Sia \sum_{n=0}^{+\infty} a_n una serie a termini non negativi. Supponiamo che

l:=\lim_{n\to +\infty}\sqrt{a_n}, allora la serie \sum_{n=0}^{+\infty} a_n

  • converge se l<1,
  • diverge se l>1,
  • non possiamo concludere nulla sul comportamento della serie se l=1.

Criterio del rapporto
Sia \sum_{n=0}^{+\infty} a_n una serie a termini non negativi. Supponiamo che

l:=\lim_{n\to +\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}, allora la serie \sum_{n=0}^{+\infty} a_n

  • converge se l<1,
  • diverge se l>1,
  • non possiamo concludere nulla sul comportamento della serie se l=1.

Criterio degli infinitesimi
Sia \sum_{n=0}^{+\infty} a_n una serie a termini non negativi. Supponiamo che esista \lim_{n\to +\infty} n^{\alpha}a_n=l, con \alpha\in\mathbb{R} e l\in\mathbb{R}, allora se

  • 0\leq l<+\infty e \alpha>1 allora \sum_{n=0}^{+\infty} a_n<+\infty,
  • 0< l\leq+\infty e \alpha\leq1 allora \sum_{n=0}^{+\infty} a_n=+\infty.

Esempio 8 (La serie armonica)
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots
Per studiare il carattere della seguente serie consideriamo il limite notevole:
\lim_{n\to +\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e
Poiché (1+\frac{1}{n})^n è crescente allora abbiamo che (1+\frac{1}{n})<e
\ln(1+\frac{1}{n})<\ln(e)\longrightarrow\ln(1+\frac{1}{n})^n<1\longrightarrow n\ln(1+\frac{1}{n})<1\longrightarrow\ln(1+\frac{1}{n})<\frac{1}{n}
Utilizziamo il criterio del confronto di Gauss dove a_n=\ln(1+\frac{1}{n} e b_n=\frac{1}{n}
Poichè a_n<b_n e b_n diverge (esempio 4) allora anche a_n diverge.
\longrightarrow la serie \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n} diverge positivamente.

Esempio 9 (La serie armonica generalizzata di ordine k)

\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^k}=1+\frac{1}{2^k}+\frac{1}{3^k}+\dots con k\in\mathbb{R}.
Studiamo il carattere della seguente serie al variare di k.

  • k=1 la serie si riduce alla serie armonica e diverge.
  • k\leq 1 la serie diverge, infatti il termine generale \frac{1}{n^k} non è infinitesima per n\to +\infty, pertanto non è soddisfatta la condizione necessaria affinchè la serie converga.
  • 0<k<1 la serie diverge. Utilizziamo il metodo del confronto di Gauss. Abbiamo a_n=\frac{1}{n^k} e consideriamo b_n=\frac{1}{n}, dunque a_n>b_n e poichè \sum_{n=1}^{+\infty}b_n diverge allora anche \sum_{n=1}^{+\infty}a_n diverge.
  • k\geq 2 la serie converge. Utilizziamo ancora il metodo del confronto di Gauss. Sia b_n=\frac{1}{n(n+1)} è il termine generale della serie Mengoli che abbiamo già viso che converge, dunque anche \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^k} per k\geq 2 converge poiché \frac{1}{n^k}<\frac{1}{n^2}<\frac{1}{n(n+1)}.
  • 1<k<2 la serie converge. Per questo punto è necessario l’uso di un altro Criterio.

 

Criterio Integrale per le serie

Se f:[1,+\infty[\to[0,+\infty[ è decrescente e a_n:=f(n), allora

\sum_{n=1}^{+\infty} a_n converge, se e solo se \int_1^{+\infty} f(x) dx converge.

Consideriamo dunque f(x)=\frac{1}{x^k}, con k\in\mathbb{R}.

Abbiamo già visto che per k\leq 1 la serie diverge, dunque consideriamo

\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^k} dx= \begin{cases}+\infty\quad \textrm{ se k<1} \\ \frac{1}{k-1} \quad\textrm{ se k>1}\end{cases}.

 

Definizione. (Convergenza Assoluta)
Una serie \sum_{n=1}^{+\infty} a_n si dice assolutamente convergente se \sum_{n=1}^{+\infty}|a_n|<+\infty.

Teorema.
Una serie assolutamente convergente è convergente.

SERIE A TERMINI ALTERNI

Una serie a termini alterni è del tipo \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n cioè a_1-a_2+a_3-a_4+\dots.

Criterio di Leibniz
Sia data la serie \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n a_n con a_n>0 per ogni n\in\mathbb{N}. Se a_n è una successione decrescente ed infinitesima, allora la serie \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n a_n è convergente.

Esempi.
10. \sum_{n=2}^{+\infty}\frac{1}{n^2-1}. Verifichiamo se sia soddisfatta la condizione necessaria per la convergenza della serie.
\lim_{n\to +\infty} \frac{1}{n^2-1}=0 quindi è soddisfatta!

Possiamo scrivere \frac{1}{n^2-1}=\frac{1}{2}(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}).

E quindi abbiamo una serie telescopica, dove

a_2=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{3})
a_3=\frac{1}{2}(\frac{1}{2}-\frac{1}{4})

a_n=\frac{1}{2}(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1})

S_n=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{3})+\frac{1}{2}(\frac{1}{2}-\frac{1}{4})+\dots+\frac{1}{2}(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1})=\frac{1}{2}(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})

\longrightarrow \sum_{n=2}^{+\infty} \frac{1}{n^2-1}=\lim_{n\to +\infty}S_n=\frac{3}{4}.

11. \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n}.
Osserviamo che il termine generale della serie a_n=\frac{1}{n} è infinitesimo e decrescente, dunque per  il criterio di Leibniz le serie converge.

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