Serie Numeriche

 Una serie numerica è una somma infinita di termini

 
Indichiamo la somma dei primi termini della successione con

Dunque possiamo scrivere

  

Definizione.
Diremo che la serie numerica

•  converge alla somma , se e scriveremo
• diverge a se e scriveremo
•  é irregolare se è irregolare.

Esempio 1. (La serie di Mengoli)

 La somma parzione della seguente serie é

 Quindi la serie di Mengoli é convergente e la sua somma vale

Esempio 2. Consideriamo la serie associata alla successione

Per la successione delle somme parziali otteniamo

Dunque non esiste. Pertanto la serie   é irregolare.

Teorema. (Condizione necessaria per la convergenza di una serie)
Se la serie  é convergente, allora la successione tende a per .
Dimostrazione. Idichiamo con la successione delle somme parziali e con la somma della serie. Allora

Quind per

Esempio 3. (La serie di Gauss)
Somma infinita dei numeri naturali

Dunque la serie di Gauss diverge positivamente.

Esempio 4. Determinare il carattere della seguente serie

Possiamo riscrivere il termine generale della serie come segue

Dunque la serie diverge positivamente.

Osservazione: Una serie tale che il suo termine generale si possa vedere come differenza di due termini consecutivi di un’altra successione si dice telescopica. Ad esempio consideriamo la serie di Mengoli:

, dove

e abbiamo che , e quindi

Esempio 5. Consideriamo la seguente serie

Possiamo scrivere il termine generale della serie come:

dove , , ,
Si tratta dunque di una serie telescopica in cui , dunque:

Quindi la serie converge ad .

SERIE A TERMINI NON NEGATIVI

Diremo che una serie é una serie a termini non negativi se risulta .
Mentre si dice che é una serie a termini positivi se  .
La successione delle somme parziali di una serie a termini non negativi é crescente. Infatti poiché allora . Quindi non può essere indeterminata, ma ammette sicuramente limite.

Esempio 6. (La serie geometrica)

si dice ragione della serie geometrica.
Utilizzando il principio di induzione si può mostrare che
Il varia rispetto al valore di .

• cioè allora per e quindi
  
• cioè e allora per
  , perciò la serie diverge.
• allora ,
  dunque la serie diverge.
• allora ,
  dunque la serie si riduce al caso della serie alternata che è indeterminata.

---

La serie geometrica di ragione :

• converge se a
• diverge se e
• è irregolare se

---

Esempio 7. 

Tale serie converge, infatti é una serie geometrica di ragione
dove , e converge alla somma 

Criterio di Cauchy
Condizione necessaria e sufficiente affinché sia convergente é che tale che
per ogni e per ogni

Possiamo iniziare ora ad enunciare i criteri per la convergenza di una serie a termini non negativi.

Primo criterio del Confronto (o di Gauss)

Siano e  due serie a termini non negativi, e sia , allora:

• se converge, allora  converge,
• se  diverge, allora  diverge.

Definizione

Due serie  e  si dicono asintoticamente equivalenti se

e si scrive per .

Secondo criterio del Confronto (Versione Asintotica)
Siano  e  due serie a termini non negativi. Sia e , tali che esista il limite

, allora

• se converge, allora  converge,
• se  diverge, allora  diverge.

Se inoltre possiamo ricondurre il limite sempre al volore con semplici tecniche algebriche, quindi abbiamo che per . In questo caso le due serie hanno lo stesso carattere..

 

Criterio della radice
Sia una serie a termini non negativi. Supponiamo che

, allora la serie 

• converge se ,
• diverge se ,
• non possiamo concludere nulla sul comportamento della serie se .

Criterio del rapporto
Sia una serie a termini non negativi. Supponiamo che

, allora la serie 

• converge se ,
• diverge se ,
• non possiamo concludere nulla sul comportamento della serie se .

Criterio degli infinitesimi
Sia una serie a termini non negativi. Supponiamo che esista , con e , allora se

• e allora ,
• e allora .

Esempio 8 (La serie armonica)

Per studiare il carattere della seguente serie consideriamo il limite notevole:

Poiché è crescente allora abbiamo che

Utilizziamo il criterio del confronto di Gauss dove e
Poichè e diverge (esempio 4) allora anche diverge.
la serie diverge positivamente.

Esempio 9 (La serie armonica generalizzata di ordine )

con .
Studiamo il carattere della seguente serie al variare di .

• la serie si riduce alla serie armonica e diverge.
• la serie diverge, infatti il termine generale non è infinitesima per , pertanto non è soddisfatta la condizione necessaria affinchè la serie converga.
• la serie diverge. Utilizziamo il metodo del confronto di Gauss. Abbiamo e consideriamo , dunque e poichè diverge allora anche diverge.
• la serie converge. Utilizziamo ancora il metodo del confronto di Gauss. Sia è il termine generale della serie Mengoli che abbiamo già viso che converge, dunque anche per converge poiché
• la serie converge. Per questo punto è necessario l’uso di un altro Criterio.

 

Criterio Integrale per le serie

Se è decrescente e , allora

converge, se e solo se converge.

Consideriamo dunque con .

Abbiamo già visto che per la serie diverge, dunque consideriamo

.

 

Definizione. (Convergenza Assoluta)
Una serie si dice assolutamente convergente se .

Teorema.
Una serie assolutamente convergente è convergente.

SERIE A TERMINI ALTERNI

Una serie a termini alterni è del tipo cioè .

Criterio di Leibniz
Sia data la serie con per ogni . Se è una successione decrescente ed infinitesima, allora la serie è convergente.

Esempi.
10. . Verifichiamo se sia soddisfatta la condizione necessaria per la convergenza della serie.
quindi è soddisfatta!

Possiamo scrivere .

E quindi abbiamo una serie telescopica, dove

11. .
Osserviamo che il termine generale della serie è infinitesimo e decrescente, dunque per  il criterio di Leibniz le serie converge.