Disequazioni di secondo grado fratte – Esercizi

Disequazioni di secondo grado fratte – Esercizi

Le disequazioni di secondo grado fratte si presentano nella forma:

oppure

dove N(x) e D(x) sono due polinomi di cui almeno uno è di secondo grado.

Per risolvere questo tipo di disequazioni è necessario portare la disequazione in una delle forme viste precedentemente e studiare separatamente il segno del numeratore e del denominatore. Al termine dello studio bisogna effettuare il prodotto dei segni e individuare gli intervalli di soluzione. Vediamo un esempio per comprendere meglio il processo di risoluzione delle disequazioni di secondo grado fratte:

Esempio

Risolvere la seguente disequazione:

Come prima cosa notiamo che la disequazione non è in forma normale. Procediamo compiendo i passi necessari per portarla e studiarla.

1. Scomposizione dei denominatori

Tutti i denominatori vanno scomposti per calcolare correttamente il mcm fra essi. Nel nostro caso il primo denominatore () non può essere ulteriormente scomposto mentre il secondo è scomponibile:

(regola della differenza di due quadrati)

Dopo aver scomposto i denominatori la disequazione sarà la seguente:

2. Calcolo del mcm fra i vari denominatori

Possiamo ora individuare il minimo comune multiplo fra i denominatori. I vari fattori sono: . Secondo la regola dobbiamo predendere tutti i fattori una sola volta con l’esponente maggiore. Quindi la disequazione divente la seguente:

3. Semplificazione numeratore e denominatore

4. Studio del segno di numeratore e denominatore

Per studiare il segno conviene sempre studiare sempre la diguaglianza e  ovverso è utile vedere quando il numeratore e il denominatore sono positivi

Numeratore:

Per risolvere la disequazione trovo il delta:

Il valore del delta è positivo quindi posso individuare le due radici dell’equazione associata  che sono

Poichè il termine della disequazione è positivo (pari ad 1) e il verso della disequazione è maggiore si prendono le soluzioni esterne:

Denominatore:

Al denominatore sono presenti due fattori costituiti da due binomi e posso studiare per facilità il segno separatamente:

e

In definitiva facendo il prodotto dei segni generale ottengo:

e poichè il segno della disequazione originaria e maggiore considero come soluzione

v v

Esercizi

 

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