Funzione razionale fratta Esercizio

4 Marzo 2020 gpalmieri Funzioni Razionali Fratte

Studiare la seguente funzione razionale fratta (studio di funzione fratta):

$f(x)=\frac{x^2-3x-4}{x+2}$

Dominio

Per prima cosa individuiamo il dominio della funzione cioè l’insieme dei valori che hanno una associazione con un valore nel codominio della funzione. Per trovare il dominio è necessario classificare la funzione. La funzione è razionale fratta per questo dobbiamo escludere tutti i valori che annullano il denominatore in quanto una frazione non può avere un denominatore uguale a zero. Ciò corrisponde a questa espressione:

$x+2 \neq 0$

$x \neq -2$

Concludiamo quindi che il dominio è il seguente intervallo di valori:

$D: (-\infty;-2) \cup (-2;+\infty)$

Intersezioni con gli assi

Il secondo problema da risolvere è quello di individuare le intersezioni della funzioni con gli assi coordinati. Per trovare le intersezioni è necessario risovere due sistemi:

Asse x

$\begin{cases}y=0\\ \frac{x^2-3x-4}{x+2} = 0 \end{cases}$

$\begin{cases}y=0\\ x^2-3x-4= 0 \end{cases}$

$\Delta=(-3)^2-4(1)(-4) = 9+16= 25$

$x_{1,2}=\frac{3 \pm \sqrt{25}}{2}=\frac{3 \pm 5}{2}$

$x_{1}=\frac{3 + \sqrt{25}}{2}=\frac{8}{2} = 4$

$x_{2}=\frac{3 - \sqrt{25}}{2}=-\frac{2}{2}=-\frac{2}{2}=-1$

Ci sono quindi due intersezioni:

$P_{1}(4,0)$

$P_{2}(-1,0)$

Asse y

$\begin{cases}x=0\\ y=\frac{x^2-3x-4}{x+2} \end{cases}$

$\begin{cases}x=0\\ y=\frac{(0)^2-3(0)-4}{0+2} \end{cases}$

$\begin{cases}x=0\\ y=-\frac{4}{2} \end{cases}$

$\begin{cases}x=0\\ y=-2 \end{cases}$

E’ presente un punto di intersezione con l’asse y: $P_{3}(0,-2)$ (funzione razionale fratta esercizio).

Segno

Lo studio del segno ci permetterà di trovare l’insieme di positività (ovvero per quali valori del dominio la funzione è positiva) e quello di negatività. Per risolvere questo problema poniamo la funzione maggiore di zero:

$\frac{x^2-3x-4}{x+2}>0$

Essendo una frazione troviamo il segno del numeratore, poi quello del denominatore e infine effettuiamo il prodotto dei segni.

$N: x^2-3x-4 > 0$

$x_{1}= 4$

$x_{2}=-1$

$-1<x<4$

$D: x+2 > 0$

$x > -2$

Effettuiamo ora il prodotto dei segni per capire il segno della funzione:

Insieme di positività (quando la funzione è positiva): $(-2;-1] \cup [4;+\infty)$

Limiti

Studiamo ora i limiti della funzione agli estremi del dominio:

1 Limite

$\lim_{x\to -\infty} \frac{x^2-3x-4}{x+2}$

$\frac{(-\infty)^2-3(-\infty)-4}{(-\infty)+2}$

$\frac{\infty}{\infty}$

Questa è una forma indeterminata. Poichè sia al numeratore che al denominatore compaiono due polinomi possiamo mettere in evidenza il termine con grado maggiore:

$\lim_{x\to -\infty} \frac{x^2(1-\frac{3}{x}-\frac{4}{x^2}}{x(1+\frac{2}{x}}$

Semplificando il tutto scopriamo che:

$\lim_{x\to -\infty} \frac{x^2-3x-4}{x+2}=-\infty$

2 Limite

$\lim_{x\to -2^{-}} \frac{-1+3-4}{-2+2}$

$\lim_{x\to -2^{-}} \frac{-2}{0} = \infty$

3 Limite

$\lim_{x\to -2^{+}} \frac{-1+3-4}{-2+2}$

$\lim_{x\to -2^{+}} \frac{-2}{0} = -\infty$

4 Limite

$\lim_{x\to +\infty} \frac{x^2-3x-4}{x+2} = +\infty$

Asintoti

Dallo studio dei limiti troviamo un asintoto vertuicale in quanto:

$\lim_{x\to -2}= \infty$

$x=-2$

Poichè abbiamo dei limiti che per x che tende ad infinito hanno come valore infinito è possibile che sia presente un asintoto obliquo. Verifichiamo la sua esistenza ricordando che una generica retta ha come equazione nel piano $y=mx+q$ .