Studio di funzione logaritmica – Esercizio 1

gpalmieri

4 anni fa

Studiare la seguente funzione logaritmica (studio di funzione logaritmica):

Dominio

Per prima cosa individuiamo il dominio della funzione cioè l’insieme dei valori che hanno una associazione con un valore nel codominio della funzione. Per trovare il dominio è necessario classificare la funzione. La funzione è logaritmica e anche esponenziale. Per il fatto che è una funzione logaritmica, dobbiamo imporre che l’argomento del logaritmo sia strettamente maggiore di zero:

Per qualsiasi valore di x l’esponenziale sarà maggiore di -1 in quanto un esponenziale è sempre strettamente positivo. Il dominio coincide quindi con tutto l’insieme .

Intersezioni con gli assi

Il secondo problema da risolvere è quello di individuare le intersezioni della funzioni con gli assi coordinati. Per trovare le intersezioni è necessario risovere due sistemi:

Asse x

Per risolvere questa equazione logaritmica eleviamo entrambi i membri ad

perchè un esponenziale non si può annulare mai. Da ciò deduciamo che non ci sono intersezione con l’asse x.

Asse y

Abbiamo individuato un punto di intersezione con l’asse y nelle coordinate:

Segno

Lo studio del segno ci permetterà di trovare l’insieme di positività (ovvero per quali valori del dominio la funzione è positiva) e quello di negatività. Per risolvere questo problema poniamo la funzione maggiore di zero:

La funzione è sempre positiva perchè un esponenziale è sempre positivo.

Limiti

Studiamo ora i limiti della funzione agli estremi del dominio:

1 Limite

2 Limite

Asintoti

Dallo studio dei limiti troviamo un asintoto orizzontale in quanto:

Quindi la retta è asintoto orizzontale.

Derivata 1

Per calcolare la derivata applichiamo la regola che si applica alle funzioni composte:

Nel nostro caso la per questo motivo deriviamo la e poi la moltiplichiamo per la derivata di :

Dopo aver calcolato la derivata prima possiamo studiare il segno i particolari punti di stazionarietà (che si hanno per i valori di x che annullano la derivata).

Essendo la derivata sempre positiva, la funzione è strettamente crescente. Inoltre il numeratore non si puà annulare mai quindi non sono presenti punti stazionari

Derivata 2

Per calcolare la derivata seconda applichiamo la regola del rapporto di due funzioni:

Come abbiamo fatto per la derivata prima studiamo il segno dei due fattori della derivata seconda e poi facciamo il prodotto dei segni separatamente:

La derivata seconda è strettamente positiva e non si annulla mai perchè il numeratore è il prodotto fra un numero e un esponenziale (che non può essere mai) nullo. Essendo la derivata seconda strettamente positiva, la funzione rivolge la sua concavità verso l’alto. Il seguente grafico conferma quanto abbiamo studiato: