Equazioni irrazionali Esercizio 5

9 Luglio 2019 gpalmieri Equazioni irrazionali

Quinto esercizio sulle equazioni irrazionali esercizio. Risolvi la seguente equazione irrazionale:

$\sqrt{1-x^2}=2x+2$

Questa equazione è del secondo tipo perchè al secondo membro è presente un polinomio con un incognita in x. Per risolvere l’intera disequazione bisogna quindi risolvere il sistema:

$\begin{cases}B\geq0\\A=B^2\end{cases}$

$\begin{cases}2x+2\geq0\\1-x^2=(2x+2)^2\end{cases}$

$\begin{cases}2x\geq-2\\1-x^2=4x^2+8x+4\end{cases}$

$\begin{cases}x\geq-1\\-x^2-4x^2-8x-4+1=0\end{cases}$

$\begin{cases}x\geq-1\\-5x^2-8x-3=0\end{cases}$

$\begin{cases}x\geq-1\\5x^2+8x+3=0\end{cases}$

Concentriamoci ora sulla risoluzione della seconda equazione:

$5x^2+8x+3=0$

$\Delta = b^2 - 4 a c$

$\Delta = 64 - 4(5)(3)$

$\Delta = 64 - 60 = 4$

Poichè il delta è positivo possiamo affermare che questa equazione ha due soluzioni reali e distinte. Le possiamo calcolare nel seguente modo:

$x_{1,2}= \frac{-8 \pm \sqrt{4}}{10}$

$x_{1}= \frac{-8 + 2}{10} = \frac{-6}{10} = -\frac{3}{5}$

$x_{2}= \frac{-8 - 2}{10} = \frac{-10}{10} = -1$

$\begin{cases}x\geq-1\\x_{1}=-\frac{3}{5} , x_{2}=-1\end{cases}$

Poichè possiamo accettare solo soluzioni maggiori o uguali a -1 tutte e due le equazioni sono ammissibili

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