Serie Numeriche

SERIE A TERMINI NON NEGATIVI

Diremo che una serie \sum_{n=1}^{+\infty}a_n é una serie a termini non negativi se \forall n\in \mathbb{N} risulta a_n\leq0.
Mentre si dice che é una serie a termini positivi se  a_n>0 \quad\forall n\in \mathbb{N}.
La successione S_n delle somme parziali di una serie a termini non negativi é crescente. Infatti poiché a_{n+1}\leq 0 allora S_{n+1}=S_n+a_{n+1}\leq S_n. Quindi S_n non può essere indeterminata, ma ammette sicuramente limite.

Esempio 6. (La serie geometrica)

\sum_{n=0}^{+\infty} q^n=1+q+q^2+\dots+q^n+\dots
q si dice ragione della serie geometrica.
Utilizzando il principio di induzione si può mostrare che S_n=\sum_{n=0}^{+\infty} q^n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}.
Il \lim_{n\to +\infty}S_n varia rispetto al valore di q.

  • |q|<1 cioè -1<q<1 allora q^n\to 0 per n\to +\infty e quindi
    \lim_{n\to +\infty}\frac{1-q^{n+1}}{1-q}=\frac{1}{1-q}
  • |q|>1 cioè q<-1 e q>1 allora q^n\to +\infty per n\to +\infty
    \lim_{n\to +\infty}\frac{1-q^{n+1}}{1-q}=+\infty, perciò la serie diverge.
  • q=1 allora S_n=1^0+1^1+1^2+\dots+1^n,
    dunque la serie diverge.
  • q=-1 allora S_n=(-1)^0+1-1+1-1+\dots+(-1)^n,
    dunque la serie si riduce al caso della serie alternata che è indeterminata.

La serie geometrica di ragione q:

  • converge se -1<q<1 a \frac{1}{1-q}
  • diverge se q<-1 e q>1
  • è irregolare se q=-1

Esempio 7. 
\sum_{n=0}^{+\infty} \left(\frac{1}{3}\right)^n
Tale serie converge, infatti é una serie geometrica di ragione
q=\frac{1}{3} dove q<1, e converge alla somma \frac{1}{1-\frac{1}{3}}=\frac{3}{2}.

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