Serie Numeriche
Teorema. (Condizione necessaria per la convergenza di una serie)
Se la serie é convergente, allora la successione tende a per .
Dimostrazione. Idichiamo con la successione delle somme parziali e con la somma della serie. Allora
Quind per
Esempio 3. (La serie di Gauss)
Somma infinita dei numeri naturali
Dunque la serie di Gauss diverge positivamente.
Esempio 4. Determinare il carattere della seguente serie
Possiamo riscrivere il termine generale della serie come segue
Dunque la serie diverge positivamente.
Osservazione: Una serie tale che il suo termine generale si possa vedere come differenza di due termini consecutivi di un’altra successione si dice telescopica. Ad esempio consideriamo la serie di Mengoli:
, dove
e abbiamo che , e quindi
Esempio 5. Consideriamo la seguente serie
Possiamo scrivere il termine generale della serie come:
dove , , ,
Si tratta dunque di una serie telescopica in cui , dunque:
Quindi la serie converge ad .