Serie Numeriche

Teorema. (Condizione necessaria per la convergenza di una serie)
Se la serie \sum_{k=1}^{+\infty}a_k é convergente, allora la successione a_n tende a 0 per n\to +\infty.
Dimostrazione. Idichiamo con S_n la successione delle somme parziali e con s\in\mathbb{R} la somma della serie. Allora

S_{n+1}=S_n+a_{n+1}

\lim_{n\to +\infty} a_{n+1}=\lim_{n\to +\infty} S_{n+1}-\lim_{n\to +\infty} S_{n}=s-s=0

Quind a_n\to 0 per n\to +\infty.

Esempio 3. (La serie di Gauss)
Somma infinita dei numeri naturali \sum_{n=1}^{+\infty} n

S_1=1
S_2=1+2
S_3=1+2+3

S_n=\frac{n(n+1)}{2}

\lim_{n\to +\infty} S_n=+\infty Dunque la serie di Gauss diverge positivamente.

Esempio 4. Determinare il carattere della seguente serie

\sum_{n=1}^{+\infty} \ln(1+\frac{1}{n})= \ln(2)+ \ln(\frac{3}{2})+\ln(\frac{4}{3})+\dots

Possiamo riscrivere il termine generale della serie come segue

a_n=\ln(1+\frac{1}{n})=\ln(\frac{1+n}{n})=\ln(n+1)-\ln(n)

S_1=a_1=\ln(2)-\ln(1)=\ln(2)
S_2=a_1+a_2=\ln(2)+(\ln(3)-\ln(2))=\ln(3)
S_3=a_1+a_2+a_3=\ln(3)+(\ln(4)-\ln(3))=\ln(4)

S_n=\ln(n+1)

\lim_{n\to +\infty}S_n=\lim_{n\to +\infty} \ln(1+n)=+\infty

Dunque la serie \sum_{n=1}^{+\infty} \ln(1+n) diverge positivamente.

Osservazione: Una serie tale che il suo termine generale si possa vedere come differenza di due termini consecutivi di un’altra successione si dice telescopica. Ad esempio consideriamo la serie di Mengoli:

\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}, dove b_n=\frac{1}{n}

e abbiamo che S_n=b_1-b_{n+1}, e quindi \lim_{n\to +\infty} S_n=b_1-b_{n+1}.

Esempio 5. Consideriamo la seguente serie

\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2+3n+2}

Possiamo scrivere il termine generale della serie come:

\frac{1}{n^2+3n+2}=\frac{1}{(n+2)(n+1)}=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}

dove a_1=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}, a_2=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}, a_3=\frac{1}{4}-\frac{1}{5}, \dots
Si tratta dunque di una serie telescopica in cui b_n=\frac{1}{n+1}, dunque:
S_n=(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\dots+\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\right)=1-\frac{1}{n+2}

\lim_{n\to +\infty} S_n=\lim_{n\to +\infty} 1-\frac{1}{n+2}=1
Quindi la serie converge ad 1.

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