Serie Numeriche

 Una serie numerica è una somma infinita di termini

 \sum_{k=0}^{+\infty} a_k=a_0+a_1+a_2+a_3+\dots
Indichiamo la somma dei primi n termini della successione con S_n=\sum_{k=1}^{n}a_k=a_1+a_2+\dot+a_n.

Dunque possiamo scrivere

  \sum_{k=0}^{+\infty}a_k=\lim_{n\to +\infty}\sum_{k=1}^{n}a_k

Definizione.
Diremo che la serie numerica \sum_{k=1}^{+\infty}a_k

  •  converge alla somma s\in\mathbb{R}, se \lim_{n\to +\infty}\sum_{k=1}^n a_k=s e scriveremo \sum_{k=1}^{+\infty}a_k=s
  • diverge a \pm\infty se \lim_{n\to +\infty}\sum_{k=1}^n a_k=\pm\infty e scriveremo \sum_{k=1}^{+\infty}a_k=\pm\infty
  •  é irregolare se (S_n)_{n\in\mathbb{N}} è irregolare.

Esempio 1. (La serie di Mengoli)
\frac{1}{1*2}+\frac{1}{2*3}+\frac{1}{3*4}+\dots+\frac{1}{n(n+1)}.

 La somma parzione della seguente serie é S_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)}=\frac{n}{n+1}

\lim_{n\to +\infty}S_n=1.

 Quindi la serie di Mengoli é convergente e la sua somma vale

\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{k(k+1)}=\lim_{n\to +\infty}S_n=1.

Esempio 2. Consideriamo la serie associata alla successione (-1)^n

-1+1-1+1-1+\dots+(-1)^n

Per la successione S_n delle somme parziali otteniamo s_1=-1, s_2=0, s_3=-1, s_4=0, \dots

Dunque \lim_{n\to +\infty}S_n non esiste. Pertanto la serie  \sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n é irregolare.

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