Radicali

Definizione

Trovare la radice n-esima di un numero significa trovare quel numero, che elevato alla n-esima potenza, dia come risultato il radicando:

Ad esempio:

La radice di indice pari ha validità nell’insieme dei numeri reali, solo se il radicando è positivo; la radice di indice dispari invece, è sempre definita. Infatti un numero elevato ad una potenza pari, darà come risultato sempre un numero positivo, qualsiasi sia il suo segno. Al contrario, un numero elevato ad una potenza dispari, conserverà il suo segno.

Inoltre possiamo indicare la radice quadrata di un numero, anche elevando il numero all’inverso dell’indice della radice:

Semplificazione fra radicali

Proprietà invariantiva

La semplificazione dei radicali è strettamente legata ad un’importante loro proprietà, detta proprietà invariantiva: secondo questa proprietà moltiplicando l’indice della radice n e l’esponente del radicando m per uno stesso numero k, il risultato non cambia.

Riduzione allo stesso indice

Questa proprietà, permette varie semplificazioni nello svolgimento delle espressioni con radicali, dando ad esempio la possibilità di ridurre tutti i radicali di un’espressione ad uno stesso indice, facilitandone così le operazioni; ad esempio:

Estrazione dalla radice

La scrittura del radicale come ci permette di fare delle considerazioni riguardo alla possibilità di semplificare un radicale o, nella migliore delle ipotesi, di estrarre del tutto il numero dalla radice, il quale passaggio rende più snella l’espressione. Se, infatti, l’esponente del radicando m è pari o superiore all’indice della radice, si ha la possibilità di estrarre il radicando nel seguente modo:

Ad esempio:

Razionalizzazione

Il termine razionalizzare in sé significa eliminare l’irrazionale, cioè il radicale; la razionalizzazione in particolare si riferisce a una serie di operazioni che si svolgono per eliminare la radice dal denominatore di una frazione; ovviamente ogni operazione svolta al denominatore deve essere svolta in ugual modo al numeratore.

Radicali quadratici doppi

Si dicono radicali quadratici doppi quei radicali che si presentano sotto la seguente forma:

La soluzione sarà:

solo se risulta essere un quadrato perfetto, perché questo snellirebbe l’espressione, altrimenti non ha senso effettuare questa semplificazione.

Ad esempio:

Operazioni fra radicali

Addizione e sottrazione fra radicali

Tra radicali si effettua la somma (o la differenza), soltanto se i termini risultano “simili”, quindi come nel calcolo letterale, la radice verrà ad indicare la parte letterale di un monomio. Per cui i termini che risultano diversi tra loro non potranno in alcun modo essere sommati, e rimarranno indicati:

Moltiplicazione e divisione fra radicali

Moltiplicare (o dividere) due radicali significa moltiplicare (o dividere) tra loro i radicandi. Questa operazione è possibile sono se i radicali hanno lo stesso indice. Quindi il prodotto di due radicali è uguale alla radice del prodotto dei radicandi; il quoziente di due radici è, invece, uguale alla radice del quoziente tra i radicandi: