Equazioni Secondo Grado

Definizione

Un’equazione intera in un’incognita x, dopo aver svolto le opportune semplificazioni, si può scrivere in questa forma normale:
formula1

dove  è un polinomio di grado n in x. Se il polinomio è di secondo grado l’equazione si dice di secondo grado o quadratica. La forma con la quale possiamo scrivere l’equazione è la seguente:

formula2

L’equazione si dice completa quando sono presenti tutti i termini a, b e c. L’equazione si dice incompleta pura quando manca il termine b e incompleta spuria quando manca il termine c. Se mancano sia b che c si dice monomia.

Equazioni Pure

formula3

Esempi

formula4

Come si risolve?

La logica per risolvere un’equazione di secondo grado pura è quella di isolare l’incognita x. Per “isolare” si intende far sì che al primo membro ci sia solo l’incognita. Questo procedimento consiste nel fare vari passaggi applicando il primo e il secondo principio delle equazioni.

formula5

La prima cosa che dobbiamo fare con questa equazione è quella di spostare il termine numerico 1 che si trova al primo membro, al secondo membro.

formula6

Poi dobbiamo eliminare quel 5 che sta davanti alla  perché abbiamo detto che al primo membro ci deve essere solo l’incognita.

formula7

A questo punto, poiché finalmente al primo membro abbiamo solo l’incognita, possiamo porre sotto radice quadrata primo e secondo membro. Al primo membro rimane la x mentre al secondo le due soluzioni:

formula8

Equazioni Spurie

 formula9 

Esempi

formula10

Come si risolve?

La logica per risolvere un’equazione di secondo grado spuria è quella di mettere in evidenza in termine in x e si otterrà un prodotto di due termini uno è il monomio x e l’altro un binomio. In definitiva questa espressione letterale sarà uguale a zero quando il monomio x è 0 oppure anche quando l’espressione di primo grado è uguale a zero.

formula11

La prima cosa che dobbiamo fare è mettere in evidenza la x:

formula12

le soluzioni saranno quindi:

formula13

e
formula14Equazioni Complete

formula15

Esempi

 formula16

Come si risolve?

Un equazione di secondo grado completa si risolve utilizzando una formula di risoluzione ben definita. Per prima cosa si calcola il

formula17

dal Δ possiamo capire il numero di soluzioni dell’equazione:

formula18

Le soluzioni si possono calcolare con questa formula:

formula19

formula20

Risoluzione Equazione Complessa

Ci chiediamo ora come risolvere un’equazione complessa che non si presenta a prima vista nelle forme che abbiamo considerato precedentemente. Come vedremo dovremo fare vari passaggi che sono in definitiva sempre gli stessi.

formula21

 

Se l’equazione si presenta in questa forma la prima cosa che dobbiamo notare e che non è fratta in quanto l’incognita non è contenuta al denominatore.

  1. mcm denominatori

bisogna portare tutto sotto lo stesso denominatore per poi eliminarli nel passaggio successivo. In questo caso i fattori sono:

 

  • 20 = 5*2
  • 5

Il minimo comune multiplo è 5*2 quindi 20

 

formula22

 

  1. eliminare i denominatori

 formula23

  1. semplificare

in questo passaggio si svolgono tutti i prodotti facendo attenzione alla presenza di prodotti notevoli che si possono risolvere secondo le regole che conosciamo.

formula24

  1. ordinare

portiamo tutti i termini al primo membro e ordiniamo in maniera decrescente le incognite in x (quindi a partire dal grado 2 a decrescere):

formula25

A questo punto abbiamo portato l’equazione ad una forma che conosciamo e possiamo risolverla secondo le tecniche analizzate precedentemente.

 

 Risoluzione Equazione Fratta

In una equazione letterale fratta al denominatore compare anche l’incognita x. Il procedimento rimane lo stesso del caso precedente ma si aggiungono alcuni passaggi da considerare prima di tutti gli altri.

 

formula26

  1. fattorizzare denominatori

il primo passaggio in questo caso e quello della fattorizzazione dei denominatori. Questo passaggio ci consentirà di individuare bene quali sono i fattori da considerare nel minimo comune multiplo. Quello che notiamo nell’esempio e che al primo denominatore è presente una somma per differenza che si può sviluppare nel seguente modo:

 

formula28 formula27

  1. mcm denominatori

possiamo ora individuare il minimo comune multiplo dei denominatori ricordando che un polinomio si considera come un unico fattore:

 

  • (x + 2)
  • (x - 2)
  • (x + 1)

Prenderò quindi tutti e tre i fattori

(x+2)(x-2)(x+1)

  1. eliminare i denominatori

per eliminare i denominatori sarà prima necessario individuare il campo di esistenza degli stessi e cioè escludere tutti i valori delle x che li annullano:

 

formula28

 

Dopo aver eliminato i denominatori si procede come indicato nel caso precedente.

 

 

 

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