Sistemi Simmetrici

Sistemi Simmetrici

Per poter definire cosa sia  un sistema simmetrico abbiamo bisogno prima di dare la definizione di una equazione simmetrica.

Equazione simmetrica
Un'equazione di due incognite si dice simmetrica se rimane invariata scambiando tra loro le due incognite.
Sistema simmetrico

Un sistema in due incognite si dice simmetrico se è formato da equazioni simmetriche.

Per poter risolvere un sistema simmetrico dobbiamo fare vari passaggi per portarlo in una forma particolare detta forma canonica del sistema:

sis2

una volta portato il sistema in forma canonica le sue soluzioni sono:

sis3

Quando il sistema si trova in forma canonica possiamo ricondurre il problema alla ricerca di due numeri di cui sono noti la somma e il prodotto. Se questi numeri esistono infatti sono le soluzioni dell'equazione di secondo grado:

sis4

Si procede quindi alla risoluzione di questa equazione e le soluzioni t1 e t2 saranno le coppie di soluzioni del sistema:

 

sis5

Vediamo ora un esempio di risoluzione di un sistema simmetrico:

 

sis6

 

 

Formule di Waring

Alcune volte un sistema simmetrico potrebbe non presentarsi nella sua forma canonica ed in questi casi la risoluzione è più complicata. Esistono però delle formule che ci permettono di portare il sistema alla forma canonica e di risolverlo come visto nel paragrafo precedente. Tali formule prendono il nome di Formule di Waring:

 

formule_waring

 

Attraverso queste formule possiamo risolvere anche un sistema simmetrico più complicato; vediamo un esempio.

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