Studio del segno di una funzione - Esercizio 6

Studiare il segno della seguente funzione:

Cattura6

Questa funzione è una funzione irrazionale fratta in quanto la variabile indipendente (x) si trova al denominatore della funzione ed è sotto una radice.

Dominio

Il dominio della funzione si calcola escludendo tutti quai valori che annullano i due denominatori e che li rendono positivi (perchè ci sono due radici quadrate).

Cattura

queste condizioni si possono scrivere anche nel seguente modo:

Cattura

perchè consideriamo giustamente i valori dell'incognita che rendono il denominatore diverso da zero e che lo rendono anche maggiore di zero.

\begin{cases}-x>-1\\x>-1\end{cases}

\begin{cases}x< 1\\x>-1\end{cases}

 

Questo sistema è verificato per i valori di x compresi tra -1 ed 1. Si prendono quindi i tratti continui del grafico (e non si fa il prodotto dei segni perchè non stiamo studiando il segno ma stiamo analizzando dei vincoli e delle condizioni). Il dominio sarà:

D:(-1;1)

Segno

Studiare il segno vuol dire vedere quando la funzione è positiva e quando invece è negativa. Significa quindi risolvere la seguente disequazione:

Cattura

Cattura

Il denominatore di questa espressione è sempre maggiore di 0 perchè è una radice quadrata. Bisogna risolvere quindi la seguente espressione per determinare il segno.

\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}\geq 0

\sqrt{1+x}\geq \sqrt{1-x}

Questa disequazione irrazionale si risolve elevando quadrato entrambi i membri e togliendo quindi le radici. Per far ciò però ci dobbiamo assicurare che il contenuto delle due radici sia sempre positivo.

\begin{cases}1+x\geq 0\\1-x\geq0\\1+x>1-x\end{cases}

\begin{cases}x\geq-1\\-x\geq-1\\2x>0\end{cases}

\begin{cases}x\geq-1\\x\leq1\\x\geq0\end{cases}

La funzione è quindi positiva per tutti i valori di x maggiori di 0 e negativa per i valori precedenti come si vede dal grafico:

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2 commenti

  • Nicola C

    Se non erro quando si cambia il segno di -x > -1 moltiplicando appunto entrambi i membri per -1, cambia anche il verso della disequazione che quindi diventa: x<1 e stravolge tutto l'esercizio in quanto il dominio sarà non più da 1 a +oo ma sarà da -1 a 1

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