Divisione polinomi

Un polinomio A si dice divisibile per un polinomio B (non nullo), se esiste un polinomio Q che, moltiplicato per B, dà come risultato A:

A = QB

Q si dice quoziente della divisione A:B

Facciamo un esempio per meglio comprendere questa regola. Supponiamo di avere i seguenti polinomi:

A: a^3+a^2-6a

B: a-2

Il risultato della divisione (a^3+a^2-6a):(a-2) è a^2+3a perchè:

A = QB ovvero a^3+a^2-6a=(a^2+3a)(a-2)

a^3+a^2-6a=a^3-2a^2+3a^2-6a=a^3+a^2-6a

Affinchè un polinomio possa essere divisibile per un altro polinomio è necessario che sia di grado uguale o maggiore. Il polinomio a^2+2 non sarà quindi certamente divisibile per il polinomio a^3-1.

Divisione fra polinomio e monomio

Un caso particolare di divisione è quella fra polinomi e monomi. Vediamo un esempio

(2a^3b-8ab^2+4ab):(2ab)

Per effettuare questa divisione è necessario dividere ogni termine del polinomio per il monomio:

(2a^3b):(2ab)+(-8ab^2):(2ab)+(4ab):(2ab)

Il risultato finale sarà quindi:

a^2-4b+2

Divisione fra due polinomi

Dati due polinomi A e B esistono sempre due polinomi Q e R (e sono unici) tali che

A = (Q \cdot B) +R

Per dividere i polinomi è necessario che abbiano la stessa variabile letterale. Consideriamo la seguente divisione:

(-5x^2+2x^4-4x^3-5):(x^2-2)

Passo 1

Ordinare tutte le lettere con grado decrescente:

Il polinomio risulterà essere:

(2x^4-4x^3-5x^2-5):(x^2+2)

Controllare la completezza del polinomio. In questo caso manca il termine di x con esponente pari ad 1:

Il polinomio da dividere sarà quindi:

(2x^4-4x^3-5x^2+0x-5):(x^2+2)

Passo 2

Per prima cosa dividiamo il termine di grado maggiore del dividendo per quello di grado maggiore del divisore:

Passo 3

In seguito moltiplichiamo il risultato per il divisore e cambiamo i segni:

Passo 4

Procediamo ora nello stesso modo reiterando i passaggi:

Regola di Ruffini

E' possibile semplificare l'algoritmo della divisione nel caso in cui il divisore sia del tipo x-a dove a rappresenta un numero reale qualsiasi. Vediamo passo per passo come dividere due polinomi con la regola di Ruffini:

(2a^4-a^2-a+1):(a+1)

Disponiamo tutti i coefficienti del polinomio dividendo completando con 0 laddove mancano i termini di un certo grado. Nell'esercizio manca il coefficiente numerico di grado 3 e quindi consideriamo il termine 0x^3.

Passo 1

Abbassiamo il primo termine copiandolo al fondo della tabella:

Passo 2

Effettuiamo la moltiplicazione del numero per il coefficiente -1 e riportiamo il risultato in tabella come indicato:

Passo 3

Effettuiamo l'operazione di addizione fra i termini  in corrispondenza:

Passo 4

Proseguiamo nello stesso modo reiterando i passaggi:

Passo finale

Al termine delle operazioni l'ultimo numero che rimane in tabella è il resto della divisione. Per ottenere invece il quoziente utilizziamo i coefficienti in tabella e associamo la parte letterale partendo dal grado del polinomio originale meno uno. In questo caso poichè il grado era 4 partiamo dal grado 3.

Il risultato sarà quindi:

2a^3-2a^2+a-2

e il resto 3

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