Funzione razionale fratta Esercizio

Studiare la seguente funzione razionale fratta (studio di funzione fratta):

f(x)=\frac{x^2-3x-4}{x+2}

Dominio

Per prima cosa individuiamo il dominio della funzione cioè l'insieme dei valori che hanno una associazione con un valore nel codominio della funzione. Per trovare il dominio è necessario classificare la funzione. La funzione è razionale fratta per questo dobbiamo escludere tutti i valori che annullano il denominatore in quanto una frazione non può avere un denominatore uguale a zero. Ciò corrisponde a questa espressione:

x+2 \neq 0

x \neq -2

Concludiamo quindi che il dominio è il seguente intervallo di valori:

D: (-\infty;-2) \cup(-2;+\infty)

Intersezioni con gli assi

Il secondo problema da risolvere è quello di individuare le intersezioni della funzioni con gli assi coordinati. Per trovare le intersezioni è necessario risovere due sistemi:

Asse x

\begin{cases}y=0\\ \frac{x^2-3x-4}{x+2} = 0 \end{cases}

\begin{cases}y=0\\ x^2-3x-4= 0 \end{cases}

\Delta=(-3)^2-4(1)(-4) = 9+16= 25

x_{1,2}=\frac{3 \pm \sqrt{25}}{2}=\frac{3 \pm 5}{2}

x_{1}=\frac{3 + \sqrt{25}}{2}=\frac{8}{2} = 4

x_{2}=\frac{3 - \sqrt{25}}{2}=-\frac{2}{2}=-\frac{2}{2}=-1

Ci sono quindi due intersezioni:

P_{1}(4,0)

P_{2}(-1,0)

Asse y

\begin{cases}x=0\\ y=\frac{x^2-3x-4}{x+2} \end{cases}

\begin{cases}x=0\\ y=\frac{(0)^2-3(0)-4}{0+2} \end{cases}

\begin{cases}x=0\\ y=-\frac{4}{2} \end{cases}

\begin{cases}x=0\\ y=-2 \end{cases}

E' presente un punto di intersezione con l'asse y: P_{3}(0,-2) (funzione razionale fratta esercizio).

Segno

Lo studio del segno ci permetterà di trovare l'insieme di positività (ovvero per quali valori del dominio la funzione è positiva) e quello di negatività. Per risolvere questo problema poniamo la funzione maggiore di zero:

 \frac{x^2-3x-4}{x+2}>0

Essendo una frazione troviamo il segno del numeratore, poi quello del denominatore e infine effettuiamo il prodotto dei segni.

N: x^2-3x-4 > 0

x_{1}= 4

x_{2}=-1

-1<x<4

D: x+2 > 0

x > -2

Effettuiamo ora il prodotto dei segni per capire il segno della funzione:

Insieme di positività (quando la funzione è positiva):  (-2;-1] \cup [4;+\infty)

Limiti

Studiamo ora i limiti della funzione agli estremi del dominio:

1 Limite

\lim_{x\to -\infty} \frac{x^2-3x-4}{x+2}

\frac{(-\infty)^2-3(-\infty)-4}{(-\infty)+2}

\frac{\infty}{\infty}

Questa è una forma indeterminata. Poichè sia al numeratore che al denominatore compaiono due polinomi possiamo mettere in evidenza il termine con grado maggiore:

\lim_{x\to -\infty} \frac{x^2(1-\frac{3}{x}-\frac{4}{x^2}}{x(1+\frac{2}{x}}

Semplificando il tutto scopriamo che:

\lim_{x\to -\infty} \frac{x^2-3x-4}{x+2}=-\infty

2 Limite

\lim_{x\to -2^{-}} \frac{-1+3-4}{-2+2}

\lim_{x\to -2^{-}} \frac{-2}{0} = \infty

3 Limite

\lim_{x\to -2^{+}} \frac{-1+3-4}{-2+2}

\lim_{x\to -2^{+}} \frac{-2}{0} = -\infty

4 Limite

\lim_{x\to +\infty} \frac{x^2-3x-4}{x+2} = +\infty

 

Asintoti

Dallo studio dei limiti troviamo un asintoto vertuicale in quanto:

\lim_{x\to -2}= \infty

x=-2

Poichè abbiamo dei limiti che per x che tende ad infinito hanno come valore infinito è possibile che sia presente un asintoto obliquo. Verifichiamo la sua esistenza ricordando che una generica retta ha come equazione nel piano y=mx+q.

m = \lim_{x\to +\infty} \frac{\frac{x^2-3x-4}{x+2}}{x}

m = \lim_{x\to +\infty} \frac{x^2-3x-4}{x^2+2x} = 1

q = \lim_{x\to +\infty} [f(x)-mx]

q = \lim_{x\to +\infty} [\frac{x^2-3x-4}{x+2}-x]=\frac{x^2-3x-4-x(x+2)}{x+2}=\frac{x^2-3x-4-x^2-2x}{x+2}=\frac{-5x-4}{x+2}=-5

Concludiamo che l'asintoto obliquo è la retta:

y=x-5

Derivata 1

f(x)=\frac{x^2-3x-4}{x+2}

Per calcolare la derivata applichiamo la regola che si applica alle funzioni fratte:

d[\frac{f(x)}{g(x)}] = \frac{f^{'}(x) g(x)-f(x)g^{'}(x)}{[g(x)]^2}

f^{'}(x) = \frac{(2x-3) \cdot (x+2) - (x^2-3x-4) \cdot (1)}{(x+2)^2}

f^{'}(x) = \frac{2x^2+4x-3x-6-x^2+3x+4}{(x^2-1)^2}

f^{'}(x) = \frac{x^2+4x-2}{(x^2-1)^2}

Studiamo ora il segno della derivata prima per capire la monotonia della funzione ed individuare i sui punti stazionari:

 \frac{x^2+4x-2}{(x^2-1)^2} \geq 0

x^2+4x-2 \geq 0

x^2+4x-2=0

\Delta=(4)^2-4(1)(-2) = 16+8= 24

x_{1,2}=\frac{-4 \pm \sqrt{24}}{2}=\frac{-4 \pm \sqrt{24}}{2}

x_{1}=\frac{-4 + \sqrt{24}}{2}

x_{2}=\frac{-4 - \sqrt{24}}{2}

La derivata si annulla per due valori che sono le coordinate dell'ascissa del massimo e del minimo della funzione stessa.

 

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