Esercizio - Studio di funzione fratta

Studiare la seguente funzione razionale fratta (studio di funzione fratta):

f(x)=\frac{x^2+1}{x^2-1}

Dominio

Per prima cosa individuiamo il dominio della funzione cioè l'insieme dei valori che hanno una associazione con un valore nel codominio della funzione. Per trovare il dominio è necessario classificare la funzione. La funzione è razionale fratta per questo dobbiamo escludere tutti i valori che annullano il denominatore in quanto una frazione non può avere un denominatore uguale a zero. Ciò corrisponde a questa espressione:

x^2-1 \neq 0

Per risolvere ricordiamo la regola del prodotto notevole somma per differenza:

(x-1) \cdot (x+1) \neq 0

x \neq 1

x \neq -1

Concludiamo quindi che il dominio è il seguente intervallo di valori:

D: (-\infty;-1) \cup(-1;1)\cup (1;+\infty)

 

Intersezioni con gli assi

Il secondo problema da risolvere è quello di individuare le intersezioni della funzioni con gli assi coordinati. Per trovare le intersezioni è necessario risovere due sistemi:

Asse x

\begin{cases}y=0\\ \frac{x^2+1}{x^2-1}=0 \end{cases}

\begin{cases}y=0\\ x^2+1=0 \end{cases}

Questa ultima equazione non è risolvibile in quanto un numero positivo (perchè al quadrato) sommato con 1 non può mai essere pari a 0. Concludiamo quindi che non ci sono intersezioni con l'asse x.

Asse y

\begin{cases}x=0\\ \y=\frac{x^2+1}{x^2-1} \end{cases}

\begin{cases}x=0\\ \y=\frac{0+1}{0-1} \end{cases}

\begin{cases}x=0\\ \y=-1 \end{cases}

E' presente un punto di intersezione: P(0,-1)

Segno

Lo studio del segno ci permetterà di trovare l'insieme di positività (ovvero per quali valori del dominio la funzione è positiva) e quello di negatività. Per risolvere questo problema poniamo la funzione maggiore di zero:

\frac{x^2+1}{x^2-1}>0

Essendo una frazione troviamo il segno del numeratore, poi quello del denominatore e infine effettuiamo il prodotto dei segni:

N: x^2+1 > 0 \forall x \in R

Il numeratore è sempre positivo (un numero al quadrato sommato ad un numero positivo non può che essere un numero positivo!)

D: x^2-1 > 0

(x-1)(x+1) > 0

x>1

x>-1

 

La funzione è positiva da -\infty fino a -1 e da 1 a \infty

Limiti

Studiamo ora i limiti della funzione agli estremi del dominio:

1 Limite

\lim_{x\to -\infty} \frac{x^2+1}{x^2-1}

\frac{(-\infty)^2+1}{(-\infty)^2-1}

\frac{\infty}{\infty}

Questa è una forma indeterminata. Poichè sia al numeratore che al denominatore compaiono due polinomi possiamo mettere in evidenza il termine con grado maggiore:

\lim_{x\to -\infty} \frac{x^2(1+\frac{1}{x^2}}{x^2(1+\frac{1}{x^2}}

Semplificando il tutto scopriamo che:

\lim_{x\to -\infty} \frac{x^2+1}{x^2-1}=1

2 Limite

\lim_{x\to -1^{-}} \frac{x^2+1}{x^2-1}

\lim_{x\to -1^{-}} \frac{(-1)^2+1}{(-1^{-})^2-1}

\lim_{x\to -1^{-}} \frac{(-1)^2+1}{0^{+}} = +\infty

3 Limite

\lim_{x\to -1^{+}} \frac{x^2+1}{x^2-1}

\lim_{x\to -1^{+}} \frac{(-1)^2+1}{1^{+}-1}

\lim_{x\to -1^{+}} \frac{(-1)^2+1}{0^{-}} = -\infty

4 Limite

\lim_{x\to 1^{-}} \frac{x^2+1}{x^2-1} = -\infty

5 Limite

\lim_{x\to 1^{+}} \frac{x^2+1}{x^2-1} = +\infty

6 Limite

\lim_{x\to +\infty} \frac{x^2+1}{x^2-1} = 1

 

Asintoti

Dallo studio dei limiti troviamo un asintoto orizzontale in quanto:

\lim_{x\to \pm\infty} \frac{x^2+1}{x^2-1} = 1

Quindi la retta y=1 è asintoto orizzontale.

Sono presenti anche due asintoti verticali in quanto:

\lim_{x\to -1} \frac{x^2+1}{x^2-1} = \infty

e

\lim_{x\to 1} \frac{x^2+1}{x^2-1} = \infty

Quindi le rette x=-1 e x=1 sono asintoti verticali.

Derivata 1

f(x)=\frac{x^2+1}{x^2-1}

Per calcolare la derivata applichiamo la regola che si applica alle funzioni fratte:

d[\frac{f(x)}{g(x)}] = \frac{f^{'}(x) g(x)-f(x)g^{'}(x)}{[g(x)]^2}

f(x) = \frac{2x(x^2-1) - 2x(x^2+1)}{(x^2-1)^2}

f(x) = \frac{2x[(x^2-1) - (x^2+1)]}{(x^2-1)^2}

f(x) = \frac{2x[x^2-1 - x^2 - 1)]}{(x^2-1)^2}

f(x) = \frac{2x[-2]}{(x^2-1)^2}

f(x) = \frac{-4x}{(x^2-1)^2}

Studiamo ora il segno della derivata prima per capire la monotonia della funzione ed individuare i sui punti stazionari:

\frac{-4x}{(x^2-1)^2} \geq 0

N: -4x \geq 0

 4x \leq 0

 x \leq 0

D: (x^2-1)^2 > 0 \forall x \in R

La funzione è crescente prima di 0 e decrescente dopo lo 0. Infine in 0 è presente un punto di massimo, possiamo trovare la coordinata y del punto sostituendo il valore nella funzione:

f(0) = \frac{1}{-1} = -1

Il massimè è M(0,-1)

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