Studio di funzione logaritmica - Esercizio 1

Studiare la seguente funzione logaritmica (studio di funzione logaritmica):

f(x)=log(1+e^{\sqrt{3}x})

Dominio

Per prima cosa individuiamo il dominio della funzione cioè l'insieme dei valori che hanno una associazione con un valore nel codominio della funzione. Per trovare il dominio è necessario classificare la funzione. La funzione è logaritmica e anche esponenziale. Per il fatto che è una funzione logaritmica, dobbiamo imporre che l'argomento del logaritmo sia strettamente maggiore di zero:

1+e^{\sqrt{3}x} > 0

e^{\sqrt{3}x} > -1 \forall x \in R

Per qualsiasi valore di x l'esponenziale sarà maggiore di -1 in quanto un esponenziale è sempre strettamente positivo. Il dominio coincide quindi con tutto l'insieme R.

D: (-\infty, +\infty)

Intersezioni con gli assi

Il secondo problema da risolvere è quello di individuare le intersezioni della funzioni con gli assi coordinati. Per trovare le intersezioni è necessario risovere due sistemi:

Asse x

\begin{cases}y=0\\ log(1+e^{\sqrt{3}x})=0 \end{cases}

log(1+e^{\sqrt{3}x})=0

Per risolvere questa equazione logaritmica eleviamo entrambi i membri ad e

e^{log(1+e^{\sqrt{3}x})}=e^0

1+e^{\sqrt{3}x}=1

e^{\sqrt{3}x}=0 \nexists x \in R

perchè un esponenziale non si può annulare mai. Da ciò deduciamo che non ci sono intersezione con l'asse x.

Asse y

\begin{cases}x=0\\y=log(1+e^{\sqrt{3}x}) \end{cases}

\begin{cases}x=0\\y=log(1+e^{\sqrt{3} \cdot 0}) \end{cases}

\begin{cases}x=0\\y=log(1+e^{0}) \end{cases}

\begin{cases}x=0\\y=log(1+1) \end{cases}

\begin{cases}x=0\\y=log(2)\end{cases}

Abbiamo individuato un punto di intersezione con l'asse y nelle coordinate:

P(0,log(2))

Segno

Lo studio del segno ci permetterà di trovare l'insieme di positività (ovvero per quali valori del dominio la funzione è positiva) e quello di negatività. Per risolvere questo problema poniamo la funzione maggiore di zero:

log(1+e^{\sqrt{3}x})>0

e^{log(1+e^{\sqrt{3}x})}>e^0

1+e^{\sqrt{3}x}>1

e^{\sqrt{3}x}>0 \forall x \in R

La funzione è sempre positiva perchè un esponenziale è sempre positivo.

Limiti

Studiamo ora i limiti della funzione agli estremi del dominio:

1 Limite

\lim_{x\to -\infty} log(1+e^{\sqrt{3}x})

log(1+e^{\sqrt{3}(-\infty)})

log(1+0)

log(1)=0

\lim_{x\to -\infty} log(1+e^{\sqrt{3}x})=0

2 Limite

\lim_{x\to +\infty} log(1+e^{\sqrt{3}x})

log(1+e^{\sqrt{3}(+\infty)})

log(1+\infty)

log(+\infty)=+\infty

\lim_{x\to +\infty} log(1+e^{\sqrt{3}x})=+\infty

Asintoti

Dallo studio dei limiti troviamo un asintoto orizzontale in quanto:

\lim_{x\to -\infty} log(1+e^{\sqrt{3}x})=0

Quindi la retta y=0 è asintoto orizzontale.

Derivata 1

f(x)=log(1+e^{\sqrt{3}x})

Per calcolare la derivata applichiamo la regola che si applica alle funzioni composte:

d[f[g(x)]] = f^{'}[g(x)] g^{'}(x)

Nel nostro caso la g(x)=1+e^{\sqrt{3}x} per questo motivo deriviamo la f(g(x)) e poi la moltiplichiamo per la derivata di g(x):

f^{'}(x)=\frac{1}{1+e^{\sqrt{3}x})} \cdot e^{\sqrt{3}x} \cdot \sqrt{3}

f^{'}(x)=\frac{\sqrt{3} e^{\sqrt{3}x}}{1+e^{\sqrt{3}x}}

Dopo aver calcolato la derivata prima possiamo studiare il segno i particolari punti di stazionarietà (che si hanno per i valori di x che annullano la derivata).

f^{'}(x) \geq 0

N: \sqrt{3}e^{\sqrt{3}x} \geq 0 \forall x \in R

D: 1+ e^{\sqrt{3}x} > 0 \forall x \in R

Essendo la derivata sempre positiva, la funzione è strettamente crescente. Inoltre il numeratore non si puà annulare mai quindi non sono presenti punti stazionari

Derivata 2

f^{'}(x)=\frac{\sqrt{3} e^{\sqrt{3}x}}{1+e^{\sqrt{3}x}}

Per calcolare la derivata seconda applichiamo la regola del rapporto di due funzioni:

f^{''}(x)=\frac{(\sqrt{3}e^{\sqrt{3}x}\sqrt{3})\cdot(1+e^{\sqrt{3}x})-(\sqrt{3}e^{\sqrt{3}x})\cdot(e^{\sqrt{3}x}\sqrt{3})}{(1+e^{\sqrt{3}x})^2}

f^{''}(x)=\frac{3e^{\sqrt{3}x}+3e^{2\sqrt{3}x}-3e^{2\sqrt{3}x}}{(1+e^{\sqrt{3}x})^2}

f^{''}(x)=\frac{3e^{\sqrt{3}x}}{(1+e^{\sqrt{3}x})^2}

Come abbiamo fatto per la derivata prima studiamo il segno dei due fattori della derivata seconda e poi facciamo il prodotto dei segni separatamente:

N: 3e^{\sqrt{3}x}> 0 \forall x \in R

D: (1+e^{\sqrt{3}x})^2> 0 \forall x \in R

La derivata seconda è strettamente positiva e non si annulla mai perchè il numeratore è il prodotto fra un numero e un esponenziale (che non può essere mai) nullo. Essendo la derivata seconda strettamente positiva, la funzione rivolge la sua concavità verso l'alto. Il seguente grafico conferma quanto abbiamo studiato:

funzione logaritmica

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