Laplace e determinante - Esercizio 4

Calcolo del determinante con laplace (laplace e determinante):

\begin{vmatrix}-2&0&-1\\4&7&0\\9&4&1\end{vmatrix}

Per calcolare il determinante della matrice utilizziamo il metodo di Laplace selezionando uno per uno gli elementi della prima riga:

Dopo aver selezionato il primo elemento eliminiamo la riga e la colonna corrispondente all'elemento. Poichè l'elemento occupa una posizione che ha come somma degli indici un numero pari (1 riga e 1 colonna) l'elemento verrà moltiplicato per il cofattore(-1)^{1+1} e per il minore complementare risultante:

(-1)^{1+1} \cdot -2 \begin{vmatrix}7&0\\4&1\end{vmatrix}

Selezionamo ora il secondo elemento:

(-1)^{1+2} \cdot 0 \begin{vmatrix}4&0\\9&1\end{vmatrix}

Passiamo ora al terzo elemento:

(-1)^{1+3} \cdot -1 \begin{vmatrix}4&7\\9&4\end{vmatrix}

Complessivamente (determinante con laplace):

det(A)= (-1)^{1+1} \cdot -2 \begin{vmatrix}7&0\\4&1\end{vmatrix}+(-1)^{1+2} \cdot 0 \begin{vmatrix}4&0\\9&1\end{vmatrix}+ (-1)^{1+3} \cdot -1 \begin{vmatrix}4&7\\9&4\end{vmatrix}

det(A) = (-1)^{1+1} \cdot -2 \cdot ((7 \cdot 1) - (4 \cdot 0)) + (-1)^{1+2} \cdot 0 \cdot ((4 \cdot 1)-(9 \cdot 0)) + (-1)^{1+3} \cdot -1 \cdot ((4 \cdot 4) - (9 \cdot 7))=

det(A) = 1 \cdot -2 \cdot (7-0) -1 \cdot 0 + 1 \cdot -1 \cdot (16- 63)=

det(A) = 1 \cdot (-14) - 0 + 1 \cdot (-2) \cdot (-16) =

det(A) = -14 - 0 + 32 =

det(A) = 18

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