Determinante con laplace - Esercizio 3

Calcolo del determinante con laplace:

\begin{vmatrix}7&5&-2\\0&4&2\\4&3&-6\end{vmatrix}

Per calcolare il determinante della matrice utilizziamo il metodo di Laplace selezionando uno per uno gli elementi della prima riga:

Dopo aver selezionato il primo elemento eliminiamo la riga e la colonna corrispondente all'elemento. Poichè l'elemento occupa una posizione che ha come somma degli indici un numero pari (1 riga e 1 colonna) l'elemento verrà moltiplicato per il cofattore(-1)^{1+1} e per il minore complementare risultante:

(-1)^{1+1} \cdot 7 \begin{vmatrix}4&2\\3&-6\end{vmatrix}

Selezionamo ora il secondo elemento:

(-1)^{1+2} \cdot 5 \begin{vmatrix}0&2\\4&-6\end{vmatrix}

Passiamo ora al terzo elemento:

(-1)^{1+3} \cdot -2 \begin{vmatrix}0&4\\4&3\end{vmatrix}

Complessivamente (determinante con laplace):

det(A)= (-1)^{1+1} \cdot 7 \begin{vmatrix}4&2\\3&-6\end{vmatrix}+(-1)^{1+2} \cdot 5 \begin{vmatrix}0&2\\4&-6\end{vmatrix}+ (-1)^{1+3} \cdot -2 \begin{vmatrix}0&4\\4&3\end{vmatrix}

det(A) = (-1)^{1+1} \cdot 7 \cdot ((4 \cdot -6) - (3 \cdot 2)) + (-1)^{1+2} \cdot 5 \cdot ((0 \cdot -6)-(4 \cdot 2)) + (-1)^{1+3} \cdot -2 \cdot ((0 \cdot 3) - (4 \cdot 4))=

det(A) = 1 \cdot 7 \cdot (-24-6) -1 \cdot 5 \cdot (0-8) + 1 \cdot -2 \cdot (0-16 )=

det(A) = 1 \cdot (7) \cdot (-30) -1 \cdot (5) \cdot (-8) + 1 \cdot (-2) \cdot (-16) =

det(A) = -210 + 40 + 32 =

det(A) = -138

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