Esercizio dominio secondo grado 7

Esercizio dominio secondo grado. Trova il dominio della seguente funzione tenendo presente che dovrai risolvere solo equazioni o disequazioni di secondo grado.

 f (x)=\sqrt{\frac{2x^2+x-1}{x-1}}

Per trovare il dominio della funzione, ovvero l'insieme dei valori che hanno un'associazione con altri valori nel codominio, dobbiamo classificare questa funzione. Poichè c'è una frazione sicuramente sarà fratta. Inoltre tutta la funzione è sotto una radice con indice pari per questo motivo dobbiamo garantire che l'argomento della radice quadrata sia maggiore o al più pari a zero. Concludiamo che per trovare il dominio dobbiamo considerare solo le seguenti condizioni:

\begin{cases}x-1\neq0\\\frac{2x^2+x-1}{x-1}\geq0\end{cases}

La prima equazione è presto risolta nel modo seguente:

x\neq1

La seconda invece richiede la risoluzione di una disequazione fratta di secondo grado.

\frac{2x^2+x-1}{x-1}\geq0

Risolviamo separatamente numeratore e denominatore e poi facciamo il prodotto dei segni per vedere quando questa espressione è positiva.

N: 2x^2+x-1\geq0

Poichè la disequazione e di secondo grado procediamo trovando il \Delta:

 \Delta = b^2 - 4ac

 \Delta = (1)^2 - 4 (2)(-1)

 \Delta =1+8 > 0

Il \Delta è positivo e per risolvere la disequazione possiamo procedere calcolando le radici dell'equazione associata:

 

 x_{1,2} = \frac{-1\pm\sqrt{9}}{4} = \frac{-1\pm3}{4}

 x_{1} = \frac{-1+3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}

 x_{2} = \frac{-1-3}{4} = \frac{-4}{4} = -1

Poichè il segno di a è positivo e il verso della disequazione è > (quindi sono concordi) prendiamo gli intervalli esterni:

D: x-1>0

x>1

In definitiva effettuando il prodotto dei segni la disequazione \frac{2x^2+x-1}{x-1}\geq0 è soddisfatta:

per -1\leq x\leq\frac{1}{2} o x>1

Riscrivendo il sistema abbiamo le seguenti condizioni

\begin{cases}x\neq1\\ -1\leqx\geq\frac{1}{2} o x>1\end{cases}

In definitiva la soluzione sarà:

D:(-1,\frac{1}{2}) \cup (1,+\infty)

come confermato dal grafico della funzione:

Torna a dominio funzioni secondo grado

Prova a calcolare la funzione anche tu su GeoGebra!

Comments

comments

Lascia un commento

Il tuo indirizzo email non sarà pubblicato. I campi obbligatori sono contrassegnati *